ただ、post-IDとかの消し方が良く分からない。というか考えてない。wp-includes/post-template.phpあたり見れば良さそうですけども・・

僕はさほど実害無いので消さなくてもいいやって感じなんですけど、簡単に消せる自由もあってもいい気もしますね。あるのかな？ｗ

お前そんな事も出来ないのか、みたいな素敵なデベロッパーさんからのトラバお待ちしています。
via. お手軽WordPress Tips：post_class()にアイキャッチ画像を使用した記事の場合のclassを追加する – かちびと. net

って、ことなので。

function remove_postid_class($classes, $class, $post_id) {
	if( $key = array_search('post-' . $post_id, $classes) )  {
		unset($classes[$key]);
	}
	return $classes;
}
add_filter('post_class', 'remove_postid_class', 10, 3);

あと、本文内のコードは、こうすれば global $post 使わなくても良いよ。(未検証)

function add_eyecatch_class($classes, $class, $post_id) {
	if( has_post_thumbnail($post_id) ) {
		$classes[] = 'eyecatch'; 
	}
	return $classes;
}
add_filter('post_class', 'add_eyecatch_class', 10, 3);